Nach einigen Studiensemestern an der Universität Wien und an der Hochschule für Welthandel wandte sich Bosse der Bühnenlaufbahn zu (Privattheaterschule Otto) und debütierte bei Josef Jarno am Renaissance-Theater (Partner von Hansi Niese). Nach Engagements in Graz und Brünn spielte Bosse nach dem Zweiten Weltkrieg am Bürgertheater (als Dr. Zögel in der „Fiakermilli" erhielt er seine erste große Rolle in Wien), danach zehn Jahre am Volkstheater und schließlich am Theater in der Josefstadt und an den Kammerspielen. Bosse gab durch seine bescheiden-vornehme Gestaltung jeder Aufführung seine persönliche Note, spielte unter anderem Schnitzler und Fry und arbeitete erfolgreich beim Film.